Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=a，AD=b，點(diǎn)E、F分別是兩腰AB、CD上的點(diǎn)，且EF∥AD，設(shè)AE=d₁、BE=d₂，
研究、發(fā)現(xiàn)：
（1）當(dāng)

d1

d2

=

1

1

時(shí)，有EF=

a+b

2

；
當(dāng)

d1

d2

=

1

2

時(shí)，有EF=

a+2b

3

；
當(dāng)

d1

d2

=

1

3

時(shí)，有EF=

a+3b

4

；
（2）當(dāng)

d1

d2

=

2

1

時(shí)，有EF=

2a+b

3

；當(dāng)

d1

d2

=

3

1

時(shí)，有EF=

3a+b

4

；
當(dāng)

d1

d2

=

4

1

時(shí)，有EF=

4a+b

5

．
填空：①當(dāng)

d1

d2

=

1

4

時(shí)，有EF=

 

；當(dāng)

d1

d2

=

1

n

時(shí)，EF=

 

．
猜想、證明
②

d1

d2

=

m

1

時(shí)，分別能得到什么結(jié)論（其中m、n均為正整數(shù)）并證明你的結(jié)論；
③進(jìn)一步猜想當(dāng)

d1

d2

=

m

n

時(shí)，有何結(jié)論（其中m、n均為正整數(shù)）寫出你的結(jié)論．
解決問題
（3）如圖2，有一塊梯形木框ABCD，AD∥BC，AD=1米，BC=3米，AB=5米，要在中間加兩個(gè)橫檔．操作如下：在AD上取兩點(diǎn)E、F，使AE=2米，EF=1.5米，分別從E、F兩處做與兩底平行的橫檔EM、FN，求需要木條的總長(zhǎng)．

Answer 1

分析：①根據(jù)上述具體式子，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，寫出結(jié)論；
②首先根據(jù)具體式子，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，寫出結(jié)論；作平行線，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形和三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；
③綜合上述結(jié)論，即可猜想到EF的結(jié)果；
④利用上述結(jié)論，求得EM和FN的長(zhǎng)．

解答：解：（1）當(dāng)

d1

d2

=

1

4

時(shí)，EF=

a+4b

5

；
當(dāng)

d1

d2

=

1

n

時(shí)，EF=

a+nb

n+1

；
當(dāng)

d1

d2

=

m

1

時(shí)，EF=

ma+b

m+1

．
當(dāng)

d1

d2

=

m

1

時(shí)，EF=

ma+b

m+1

．
證明：作AG∥CD交BC于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)H，
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABG．
因?yàn)?span id="hzrttpj" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

d1

d2

=

m

1

，
所以，

EH

BG

=

m

m+1

，∴EH=

m

m+1

(a-b)，
∴EF=

m

m+1

(a-b)+b=

ma+b

m+1

．

（2）當(dāng)

d1

d2

=

m

n

時(shí)，EF=

ma+nb

m+n

．

（3）因?yàn)锳E：BE=2：3，由（2）中的結(jié)論可得：
EM=

2BC+3AD

2+3

=1.8（米）
由于AF：BF=3.5：1.5=7：3，
由（2）中的結(jié)論可得：
FN=

7BC+3AD

10

=

7×3+3×1

10

=2.4（米）
故兩木條的總長(zhǎng)度是1.8+2.4=4.2（米）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行探索結(jié)論．能夠根據(jù)探索的結(jié)論進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算．