Question

13．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格中每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A₁B₁C₁；
（2）畫(huà)出將△ABC繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°所得作的△A₂B₂C₂，并求出C₂的坐標(biāo)；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑為弧$\widehat{A{A}_{2}}$，那么$\widehat{A{A}_{2}}$的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$π；
（4）△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂成中心對(duì)稱嗎？若成中心對(duì)稱，寫(xiě)出對(duì)稱中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出點(diǎn)A₁、B₁、C₁的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到△A₁B₁C₁；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出點(diǎn)A₂、B₂、C₂，然后描點(diǎn)即可得到△A₂B₂C₂；
（3）先計(jì)算出OA，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算；
（4）觀察所畫(huà)的圖形，根據(jù)中心對(duì)稱的定義可判斷）△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂成中心對(duì)稱，然后寫(xiě)出對(duì)稱中心的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖，△A₁B₁C₁為所作；
（2）如圖，△A₂B₂C₂為所作，并求出C₂的坐標(biāo)為（-1，3）；

（3）OA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑為弧$\widehat{A{A}_{2}}$，那么$\widehat{A{A}_{2}}$的長(zhǎng)=$\frac{90•π•2\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{2}$π；
（4）△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂成中心對(duì)稱，對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
故答案為$\sqrt{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了弧長(zhǎng)公式．