【題目】如圖,長方形OABC的頂點A、C、O都在坐標軸上,點B的坐標為(9,4),E為BC邊上一點,CE=6.

(1)求點E的坐標和ABE的周長;

(2)若P是OA上的一個動點,它以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)沿射線OA運動,設點P運動的時間為t秒(t0).

當t為何值時,PAE的面積等于PCE的面積的一半;

當t為何值時,PAE為直角三角形.

【答案】(112;(2)6或12秒6或.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)長方形OABC中,點B的坐標為(9,4),求得CB=9,CO=4=AB,即可得出CE=6,再根據(jù)勾股定理求得AE的長,即可得到ABE的周長;

(2)分兩種情況討論:P在OA之間時,P在OA的延長線上時,分別根據(jù)PAE的面積等于PCE的面積的一半,列出關于t的方程,求得t的值即可;

分三種情況討論:當PEA=90°時,當PAE=90°時,EPA=90°時,分別求得t的值并判斷是否符合題意即可.

試題解析:(1)如圖,長方形OABC中,點B的坐標為(9,4),

CB=9,CO=4=AB,

CE=6,

E(6,4),BE=3,

∵∠B=90°,

RtABE中,AE==5,

∴△ABE的周長:3+4+5=12;

(2)OP=1×t=t,

AP=9﹣t,

∵△PAE的面積等于PCE的面積的一半,

當P在OA之間時,

×AP×AB=×CE×CO×,

(9﹣t)×4=6×4×,

解得t=6;

當P在OA的延長線上時,

×AP×AB=×CE×CO×

(t﹣9)×4=6×4×,

解得t=12,

綜上所述,當t為6或12秒時,PAE的面積等于PCE的面積的一半;

如圖,當PEA=90°時,PAE為直角三角形,過點P作PFBC于F,則

CF=OP=t,EF=6﹣t,BF=6﹣t+3=9﹣t=AP,

由勾股定理可得,,

,

,

解得t=;

EPA=90°時,PAE為直角三角形,EPOA,

此時,PE=OC=4,

RtAPE中,AP==3,

OP=9﹣3=6,

t=6;

EA與AP不垂直,

∴∠PAE不可能為直角;

綜上所述,當t為6或秒時,PAE為直角三角形.

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