Question

10．如圖，已知AG與HE相交于點(diǎn)D，點(diǎn)B、C、F分別是DG、HD、AE的中點(diǎn)，若AH=AD，DE=EG．
（1）求證：CF=BF；
（2）若△CFB是等腰直角三角形，則∠DAE+∠DEA等于多少度？

Answer 1

分析 （1）連接AC，BE，由△ADH是等腰三角形，C是DH中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)可得△ACE為直角三角形，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得CF=$\frac{1}{2}AE$，同理可得BF=$\frac{1}{2}AE$，可得結(jié)論；
（2）由（1）可知△CEF與△ABF均為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠4=∠6，∠3=∠1，易得∠3+∠4=∠1+∠6，由∠BDC=∠ADE，由三角形的內(nèi)角和定理可得∠2+∠5=∠3+∠4，等量代換可得∠1+∠6=∠2+∠5，由三角形的內(nèi)角和定理可得∠1+∠6=∠2+∠5=45°，可得結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AC，BE，
∵△ADH是等腰三角形，C是DH中點(diǎn)，
∴AC⊥DH，
同理BE⊥DG，
在RT△ACE中，∵F是斜邊AE中點(diǎn)，
∴FC=$\frac{1}{2}$AE=EF
∴∠1=∠3
同理BF=$\frac{1}{2}$AE=AF
∴CF=BF；

（2）解：∵BF=AF，CF=EF，
∴∠4=∠6，∠3=∠1，
∴∠3+∠4=∠1+∠6，
∵∠BDC=∠ADE，
∴∠2+∠5=∠3+∠4，
∴∠1+∠6=∠2+∠5，
∵△BCF為等腰直角三角形，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=45°+45°=90°，
∴∠1+∠6=∠2+∠5=45°，
∴∠3+∠4=45°，
即∠DAE+∠DEA=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，連接AC，BE得到直角三角形，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解答此題的關(guān)鍵．