如圖,BC是⊙O的直徑,A是⊙O上一點(diǎn),過點(diǎn)C作⊙O的切線,交BA的延長線于點(diǎn)D,取CD的中點(diǎn)E,AE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)P.

(1)求證:AP是⊙O的切線;

(2)OC=CP,AB=6,求CD的長.

考點(diǎn):切線的判定與性質(zhì);解直角三角形.

分析:(1)連接AO,AC(如圖).欲證AP是⊙O的切線,只需證明OA⊥AP即可;

(2)利用(1)中切線的性質(zhì)在Rt△OAP中利用邊角關(guān)系求得∠ACO=60°.然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義知AC=2,CD=4.

解答:(1)證明:連接AO,AC(如圖).

∵BC是⊙O的直徑,

∴∠BAC=∠CAD=90°.

∵E是CD的中點(diǎn),

∴CE=DE=AE.

∴∠ECA=∠EAC.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA.

∵CD是⊙O的切線,

∴CD⊥OC.

∴∠ECA+∠OCA=90°.

∴∠EAC+∠OAC=90°.

∴OA⊥AP.

∵A是⊙O上一點(diǎn),

∴AP是⊙O的切線;

(2)解:由(1)知OA⊥AP.

在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,

∴sinP==,

∴∠P=30°.

∴∠AOP=60°.

∵OC=OA,

∴∠ACO=60°.

在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=6,∠ACO=60°,

∴AC==2,

又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°﹣∠ACO=30°,

∴CD===4.

點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形.注意,切線的定義的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值. 

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3
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3
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