Question

11．已知，AB∥CD，點P為AB、CD之間一點，連接AC．

（1）如圖1，若AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求證：AP⊥CP；
（2）如圖2，若∠PCD=2∠BAP，∠APC=90°，∠ACP=5∠PAC，延長AP交CD于點E，試探究∠PAC與∠AEC之間的數量關系，并說明理由．
（注意：本題不允許使用三角形內角和為180°）

Answer 1

分析 （1）過點P作PE∥AB，由AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，再根據平行線的性質可得∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE，再由角平分線的性質可得∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCP=$\frac{1}{2}$∠ACD，由AB∥CD可得∠BAC+∠ACD=180°，進而可得∠APE+∠CPE=90°，進而可得AP⊥CP；
（2）由（1）可得∠APC=∠BAP+∠DCP，由∠PCD=2∠BAP，∠APC=90°可得∠BAP的度數，進而可得∠PCD的度數，再根據∠ACP=5∠PAC計算出∠PAC=15°，再根據AB∥CD，可得∠BAP=∠AEC=30°，進而可得2∠PAC=∠AEC．

解答 解：（1）過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCP=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACD）=90°，
∴AP⊥CP；

（2）2∠PAC=∠AEC，
同（1）可證∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠PCD=2∠BAP，∠APC=90°，
∴∠BAP+2∠BAP=90°，
∴∠BAP=30°，∠PCD=60°，
∵∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACP+∠PAC=90°，
∵∠ACP=5∠PAC，
∴5∠PAC+∠PAC=90°，
∴∠PAC=15°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP=∠AEC=30°，
∴2∠CAP=∠AEC．

點評 此題主要考查了平行線的性質，以及角平分線的性質，關鍵是正確理清圖中角之間的關系，掌握兩直線平行，同旁內角相等．