Question

16．如圖，BC為⊙O的直徑，D，A是⊙O上兩點，延長DA交CB延長線于點P，連接CD，AB．
（1）求證：△PAB∽△PCD．
（2）若PB=OB=2，CD=3，求PA的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠PAB=∠C，由AA可以判定△PAB∽△PCD．
（2）作DF⊥PC垂足為F，連接BD，在RT△BCD中，求出BD，DF，在RT△PDF中求出PD，再由△PAB∽△PCD得$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}$即可解決．

解答 （1）證明：∵∠P=∠P，∠PAB=∠C，
∴△PAB∽△PCD．
（2）解：作DF⊥PC垂足為F，連接BD，
∵BC是直徑，
∴∠CDB=90°，
∵CD=3，BC=4，
∴DB=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵$\frac{1}{2}$•BC•DF=$\frac{1}{2}$•CD•BD，
∴DF=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{7}{4}$，
∴PF=PB+BF=2+$\frac{7}{4}$=$\frac{15}{4}$，
在RT△PDF中，PD=$\sqrt{D{F}^{2}+P{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵△PAB∽△PCD，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{PA}{6}=\frac{2}{3\sqrt{2}}$，
∴PA=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵，熟練直角三角形斜邊上的高的求法，屬于中考常考題型．