通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例,請補充完整。

原題:如圖1,點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說明理由。

(1)思路梳理

∵AB=CD,

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,點F、D、G共線。

根據(jù)    ,易證△AFG≌    ,得EF=BE+DF。

(2)類比引申

如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足等量關系    時,仍有EF=BE+DF。

(3)聯(lián)想拓展

如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系,并寫出推理過程。

 

【答案】

解:(1)SAS;△AFE。

(2)∠B+∠D=180°。

(3)BD2+EC2=DE2。理由見解析

【解析】

試題分析:(1)在△AFG和△AEF中,,∴△AFG≌△AEF(SAS)。

(2)如圖,把△ABE繞A點逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合,連接FG,

同(1)△AEF≌△AGF(SAS)得EF=GF;

由旋轉的性質,得BE=DG,∠B=∠ADG,

若EF=BE+DF,則GF=DG+DF。

∴點F、D、G共線。∴∠ADF+∠ADG180°,即∠B+∠D=180°。

(3)根把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG,可使AB與AC重合,根據(jù)旋轉的性質,全等三角形的性質和勾股定理,可得到BD2+EC2=DE2。

BD2+EC2=DE2。推理過程如下:

∵AB=AC,

∴把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG,可使AB與AC重合(如圖)。

∵△ABC中,∠BAC=90°,

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°。

∴EC2+CG2=EG2。

在△AEG與△AED中,

∵根據(jù)旋轉的性質,∠CAG=∠BAD。

∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD。

又∵根據(jù)旋轉的性質,AD=AG,AE=AE,

∴△AEG≌△AED(SAS)!郉E=EG。

又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2。

 

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(1)思路梳理
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,點F、D、G共線.
根據(jù)
SAS
SAS
,易證△AFG≌
△AEF
△AEF
,得EF=BE+DF.
(2)類比引申
如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足等量關系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
時,仍有EF=BE+DF.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系,并寫出推理過程.

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∵AB=CD,

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合.

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,點F、D、G共線.

根據(jù)________,易證△AFG≌________,得EF=BE+DF.

(2)類比引申

圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足等量關系________時,仍有EF=BE+DF.

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∵AB=CD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,點F、D、G共線.
根據(jù)______,易證△AFG≌______,得EF=BE+DF.
(2)類比引申
如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足等量關系______時,仍有EF=BE+DF.
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