Question

已知：拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0），點B在x軸的正半軸上，OC=3OA（O為坐標原點）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點E是拋物線上的一個動點且在x軸下方和拋物線對稱軸的左側，過E作EF∥x軸交拋物線于另一點F，作ED⊥x軸于點D，F(xiàn)G⊥x軸于點G，求四邊形DEFG周長m的最大值；
（3）設拋物線頂點為P，當四邊形DEFG周長m取得最大值時，以EF為邊的平行四邊形面積是△AEP面積的2倍，另兩頂點總有一頂點Q在拋物線上，求Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)拋物線的開口方向，確定點C的位置，然后根據(jù)OC、OA的比例關系求出C點的坐標，將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值．
（2）由題意可知：四邊形DEFG為矩形，可設出點E的橫坐標，根據(jù)拋物線的對稱軸表示出點F的橫坐標，根據(jù)拋物線的解析式表示出兩點的縱坐標，進而可得到矩形的長和寬的表達式，由此可求出關于m和E點橫坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質即可求得m的最大值．
（3）由（2）知，當m最大時，E、C重合，設直線AP與y軸的交點為M，根據(jù)直線AP的解析式，可求得M的坐標，進而可得到△AEP和平行四邊形的面積，易求得EF的長，即可得到Q到直線EF的距離，從而確定Q點的縱坐標，將其代入拋物線的解析式中，即可求得符合條件的Q點坐標．

解答：解：（1）由于拋物線的開口向上，且與x軸的交點位于原點兩側，
則C點必在y軸的負半軸上；
∵OC=3OA=3，即C（0，-3），
則有：

1-b+c=0 c=-3

，
解得

b=-2 c=-3

；
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）由（1）的拋物線知：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
即拋物線的對稱軸為x=1；
設E（x，x²-2x-3），
則F（2-x，x²-2x-3）；（-1＜x＜1）
由題意知：四邊形DEFG為矩形，
則其周長：m=2（2-x-x）+2（-x²+2x+3）=-2x²+10；
∴當x=0時，四邊形AEFG的周長m最大，且最大值為10．

（3）由（2）知：E（0，-3），F(xiàn)（2，-3），P（1，-4）；
∵A（-1，0）、P（1，-4），
∴直線AP：y=-2x-2；
設AP與y軸的交點為M，則M（0，-2），ME=1；
∴S_△APE=

1

2

×1×2=1，
∴S_{平行四邊形}=EF•|y_Q-y_E|=2，
∵EF=2，
∴|y_Q-y_E|=1；
當y_Q-y_E=1時，y_Q=y_E+1=-3+1=-2，代入拋物線的解析式中，
得：x²-2x-3=-2，
解得x=1±

2

；
∴Q₁（1+

2

，-2），Q₂（1-

2

，-2）；
當y_Q-y_E=-1時，y_Q=y_E-1=-3-1=-4，此時Q、P重合，
即：Q₃（1，-4）；
綜上所述，有3個符合條件的Q點，它們的坐標為：Q₁（1+

2

，-2），Q₂（1-

2

，-2），Q₃（1，-4）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應用以及圖形面積的求法，需要注意的是（1）題中，首先要根據(jù)拋物線的開口方向來判斷C點所處的位置；（3）題中，要考慮到EF上、下方都有可能存在符合條件的Q點，不要漏解．