Question

將拋物線c₁：y=沿x軸翻折，得拋物線c₂，如圖所示.

（1）請直接寫出拋物線c₂的表達(dá)式.

（2）現(xiàn)將拋物線c₁向左平移m個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A，B；將拋物線c₂向右也平移m個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸交點(diǎn)從左到右依次為D，E.

①當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；

②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解：（1）.     

（2）①令，得：，

               則拋物線c₁與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0），（1,0）.

∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.

同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.

當(dāng)時(shí)，如圖①，

，∴.                    

當(dāng)時(shí)，如圖②，，

 ∴.                 ∴當(dāng)或2時(shí)，B，D是線段AE的三等分點(diǎn). 

②存在.                                     

方法一

理由：連接AN、NE、EM、MA.依題意可得：.

即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，  ∴.

∵， ∴A，E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，   ∴，

∴四邊形ANEM為平行四邊形.                 

要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足,

即，       ∴.

∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

方法二

理由：連接AN、NE、EM、MA. 依題意可得：.

即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，  ∴.

∵， ∴A，E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，   ∴，

∴四邊形ANEM為平行四邊形.   

∵，

，

，

若，則，∴.

此時(shí)△AME是直角三角形，且∠AME=90°.

∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.