如圖,已知Rt△ABC和Rt△EBC,∠B=90°.以邊AC上的點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的⊙O與EC相切,D為切點(diǎn),AD∥BC.
(1)用尺規(guī)確定并標(biāo)出圓心O;(不寫作法和證明,保留作圖痕跡)
(2)求證:∠E=∠ACB;
(3)若AD=1,,求BC的長.

【答案】分析:(1)若⊙O與EC相切,且切點(diǎn)為D,可過D作EC的垂線,此垂線與AC的交點(diǎn)即為所求的O點(diǎn).
(2)由(1)知OD⊥EC,則∠ODA、∠E同為∠ADE的余角,因此∠E=∠ODA=∠OAD,而AD∥BC,可得∠OAD=∠ACB,等量代換后即可證得∠E=∠ACB.
(3)由(2)證得∠E=∠ACB,即tan∠E=tan∠DAC=,那么BC=AB;由于AD∥BC,易證得△EAD∽△EBC,可用AB表示出AE、BC的長,根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求出AB的長,進(jìn)而可得到BC的值.
解答:(1)解:(O即為AD中垂線與AC的交點(diǎn))或(過D點(diǎn)作EC的垂線與AC的交點(diǎn)等).
能見作圖痕跡,作圖基本準(zhǔn)確即可,漏標(biāo)O可不扣分(2分)


(2)證明:連接OD.∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠EAD=90°.
∴∠E+∠EDA=90°,即∠E=90°-∠EDA.
又∵圓O與EC相切于D點(diǎn),∴OD⊥EC.
∴∠EDA+∠ODA=90°,即∠ODA=90°-∠EDA.
∴∠E=∠ODA;(3分)
(說明:任得出一個角相等都評1分)
又∵OD=OA,∴∠DAC=∠ODA,∴∠DAC=∠E. (4分)
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠E=∠ACB. (5分)

(3)解:Rt△DEA中,tanE=,又tanE=tan∠DAC=,
∵AD=1,∴EA=. (6分)
Rt△ABC中,tan∠ACB=
又∠DAC=∠ACB,∴tan∠ACB=tan∠DAC.
=,∴可設(shè)AB=x,BC=2x,
∵AD∥BC,∴Rt△EAD∽Rt△EBC. (7分)
=,即=
∴x=1,
∴BC=2x=2. (8分)
點(diǎn)評:此題主要考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)等重要知識,能夠準(zhǔn)確的判斷出O點(diǎn)的位置,是解答此題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22、如圖,已知Rt△ABC,AB=AC,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,BD的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)E、F,CD=CG.
(1)請以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)(不增加其他的點(diǎn))分別構(gòu)造兩個菱形和兩個等腰梯形.那么,構(gòu)成菱形的四個頂點(diǎn)是
B,E,D,F(xiàn)
E,D,C,G
;構(gòu)成等腰梯形的四個頂點(diǎn)是
B,E,D,C
E,D,G,F(xiàn)
;
(2)請你各選擇其中一個圖形加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知Rt△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC=90°,AH⊥BC,垂足為D,過點(diǎn)B作弦BF交AD于點(diǎn)精英家教網(wǎng)E,交⊙O于點(diǎn)F,且AE=BE.
(1)求證:
AB
=
AF
;
(2)若BE•EF=32,AD=6,求BD的長.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

5、如圖,已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P是BC延長線上一點(diǎn),PE⊥AB交BA延長線于E,PF⊥AC交AC延長線于F,D為BC中點(diǎn),連接DE,DF.求證:DE=DF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.過點(diǎn)A做AE⊥AB,且AE=15,連接BE交AC于點(diǎn)P.
(1)求PA的長;
(2)以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作⊙A,試判斷BE與⊙A是否相切,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知Rt△ABC中∠A=90°,AB=3,AC=4.將其沿邊AB向右平移2個單位得到△FGE,則四邊形ACEG的面積為
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同步練習(xí)冊答案
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