Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O在邊AB上，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交∠ABC的平分線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交直線OD于點(diǎn)E．
（1）求證：OE=OD；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在什么位置時(shí)，四邊形BDAE是矩形？說(shuō)明理由；
（3）在滿足（2）的條件下，還需△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形BDAE是正方形？寫(xiě)出你確定的條件，并畫(huà)出圖形，不必證明______．

Answer 1

（1）證明：∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠1=∠2．
∵DE∥BC，∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OB=OD
∵BE⊥BD∴∠EBD=90°
∴∠4+∠2=∠5+∠3=90°
∴∠4=∠5
∴OE=OB
∴OE=OD

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BDAE是矩形．
理由：當(dāng)點(diǎn)O是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，OA=OB
∵OE=OD
∴四邊形BDAE是平行四邊形
∵∠EBD=90°
∴四邊形BDAE是矩形

（3）解：當(dāng)△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°時(shí)，
四邊形BDAE是正方形．
（說(shuō)出“∠ABC為直角”即可）
分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，和平行線的性質(zhì)，證明角相等，然后再證明邊相等，等量代換得出結(jié)論．
（2）當(dāng)點(diǎn)O是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BDAE是矩形，先證明四邊形是平行四邊形，再證明有一個(gè)角是直角就可以得證．
（3）△ABC是以∠ABC為直角的直角三角形時(shí)，四邊形BDAE是正方形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及正方形的判定定理等知識(shí)點(diǎn)．