Question

【題目】如圖，已知AB是⊙P的直徑，點C在⊙P上，D為⊙P外一點，且∠ADC＝90°，2∠B+∠DAB＝180°．

(1)證明：直線CD為⊙P的切線；

(2)若DC＝2，AD＝4，求⊙P的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)⊙P的半徑為5．

【解析】

（1）連接PC，則∠APC＝2∠B，可證PC∥DA，證得PC⊥CD，則結(jié)論得證；

（2）連接AC，先求出AC長，可證△ADC∽△ACB，可求出AB長，則⊙P的半徑可求出．

(1)連接PC，

∵PC＝PB，

∴∠B＝∠PCB，

∴∠APC＝2∠B，

∵2∠B+∠DAB＝180°，

∴∠DAC+∠ACP＝180°，

∴PC∥DA，

∵∠ADC＝90°，

∴∠DCP＝90°，

即DC⊥CP，

∴直線CD為⊙P的切線；

(2)連接AC，

∵DC＝，AD＝4，∠ADC＝90°，

∴，

∵AP＝CP，

∴∠PAC＝∠ACP，

∵AD∥PC，

∴∠DAC＝∠ACP，

∴∠PAC＝∠DAC，

∵AB是⊙P的直徑，

∴∠BCA＝90°，

∴∠BCA＝∠ADC，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴，

∴AB＝10，

∴⊙P的半徑為5．