Question

3．如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=3OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作矩形OEFG，連接AG，將正方形ABCD固定，將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到矩形OE′F′G′，如圖2．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)；
（2）若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′長的最大值？如果存在，請求出它的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DOG′=α，OG=OG′=OA，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出∠AG′O，然后計算∠DOG′的度數(shù)即可；同樣可得α的度數(shù)為150°；
（2）連結(jié)AF′、OF′，如圖1，利用正方形的性質(zhì)計算出OA=OD=OC，則可得到OG′和OE′的長，利用勾股定理計算出OF′，利用三角形三邊的關(guān)系得到OA+OF′≥AF′（當(dāng)點F在AO的延長線上取等號），于是可得到AF′的最大值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴OA=OD，∠AOD=90°，
而OG=2OD，
∴OG=2OA，
∵矩形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，
∴∠DOG′=α，OG=OG′=2OA，
當(dāng)∠OAG′=90°，
而OA=$\frac{1}{2}$OG′，
∴∠AG′O=30°，
∴∠AOG′=60°，
∴∠DOG′=90°-60°=30°，
即α的度數(shù)為30°；
同樣可得α的度數(shù)為150°；
∴α的度數(shù)為30°或150°；
（2）連結(jié)AF、OF，如圖2，
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴OA=OD=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OG′=2OD=$\sqrt{2}$，OE′=3OC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵四邊形OG′F′E′為矩形，
∴E′F′=OG=$\sqrt{2}$，∠E′=90°，
在Rt△OE′F′中，OF′=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∵OA+OF′≥AF′（當(dāng)點F′在AO的延長線上取等號），
∴AF′的最大值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{26}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．解決（2）小題的關(guān)鍵利用三角形三邊的關(guān)系判斷點F′在AO的延長線時AF′最長．