Question

如圖，已知∠ABC=60°，⊙O的半徑為2cm，且與角的兩邊都相切．若在角內(nèi)部再放個圓，使它與角兩邊以及⊙O都相切，則放入圓的半徑是

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：本題要分兩種情況討論：當放入圓的半徑小于圓O半徑時和當放入圓的半徑大于圓O半徑時，根據(jù)切線性質(zhì)和已知條件求出符合題意的新圓的半徑即可．

解答：解：如圖所示，當放入圓的半徑小于圓O半徑時，設(shè)⊙M與⊙O相切于點P，作OD⊥AB于點D，ME⊥AB于點E，
∵⊙M和⊙O的圓心點M和點O都在∠ABC的角平分線上，
∴點B、點M和點O共線，
設(shè)⊙O半徑為R，則OP=OD=R=2cm，
設(shè)⊙M半徑為r，則MP=ME=r，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠CBO=30°，
又ME⊥AB OD⊥AB，
易得BM=2•EM=2r，OB=2•OD=2R=4，
∴OM=OB-BM=4-2r 又OM=OP+PM=R+r=2+r，
∴4-2r=2+r，
∴r=

2

3

cm；
當放入圓的半徑大于圓O半徑時，
設(shè)新放入的圓半徑為R，圓O的半徑為r，則依據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可得2R-2r=r+R，
即R=3r=6cm，
故答案為：

2

3

cm或6cm．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．