Question

如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一直線上，△ADC、△BDO為等腰直角三角形，連接AO、BC．

（1）AO、BC的大小位置關(guān)系如何？說出你的看法，并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)△ODB繞頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)任一角度得到如圖②，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）AO=BC，AO⊥BC，
證明：∵△ADC、△BDO為等腰直角三角形，
∴∠ADO=∠CDB=90°，AD=DC，DO=BD，
∵在△ADO和△CDB中，
，
∴△ADO≌△CDB（SAS），
∴AO=BC，∠OAD=∠DCB，
∵∠COE=∠AOD，∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠DCB+∠COE=90°，
∴∠CEO=90°，
∴AO⊥BC；


（2）解：AO=BC仍成立，
理由是：∵△ADC、△BDO為等腰直角三角形，
∴AD=DC，DO=BD，∠ADC=∠BDO=90°，
∴∠ADC+∠CDO=∠BDO+∠CDO，
∴∠ADO=∠CDB，
∵在△ADO和△CDB中，
，
∴△ADO≌△CDB（SAS），
∴AO=BC．
分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出∠ADO=∠CDB=90°，AD=DC，DO=BD，根據(jù)SAS推出△ADO≌△CDB即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出∠ADC=∠BDO=90°，AD=DC，DO=BD，求出∠ADO=∠CDB根據(jù)SAS推出△ADO≌△CDB即可；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)SAS得到△ADO≌△CDB．