Question

已知二次函數(shù)y=x²-x+c
（1）若點(diǎn)A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，求此二次函數(shù)的最小值．
（2）若點(diǎn)D（x₁、y₁）、E（x₂、y₂）在拋物線y=x²-x+c上，且D、E兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求直線DE的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若點(diǎn)P（m，m）（m＞0）在拋物線y=x²-x+c上，連接PO，當(dāng)2

2

≤PO≤

2

+2時(shí)，試判斷（2）中的直線DE與拋物線y=x²-x+c+

8

3

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，直接代入函數(shù)解析式求出即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)D、E關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，得出x₂=-x₁，y₂=-y₁，進(jìn)而求出2y₁=-2x₁，y₁=-x₁，即可得出k的值；
（3）根據(jù)點(diǎn)P（m，m）（m＞0），PO=

2

m，得出2

2

≤

2

m≤

2

+2，進(jìn)而得出-1≤c≤0，再分別分析當(dāng)-c-

3

8

=0時(shí)，當(dāng)-c-

3

8

＞0時(shí)，當(dāng)-c-

3

8

＜0時(shí)，得出方程的根的情況．

解答：解：（1）由題意得

n=2+c 2n-1=2+c.

，
解得

n=1 c=-1.

，
∴有y=x²-x-1，
=（x-

1

2

）²-

5

4

．
∴二次函數(shù)y=x²-x-1的最小值是-

5

4

；

（2）解法1：
∵點(diǎn)D、E關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁．
∴

y1=x12-x1+c -y1=x12+x1+c.

，
∴2y₁=-2x₁，y₁=-x₁．
設(shè)直線DE：y=kx．
有-x₁=kx₁．
由題意，存在x₁≠x₂．
∴存在x₁，使x₁≠0．
∴k=-1．
∴直線DE：y=-x．
解法2：設(shè)直線DE：y=kx．
則根據(jù)題意有kx=x²-x+c，即x²-（k+1）x+c=0．
∴方程x²-（k+1）x+c=0有實(shí)數(shù)根．
∵x₁+x₂=0，
∴k+1=0．
∴k=-1．
∴直線DE：y=-x；

（3）∵點(diǎn)P（m，m）（m＞0），
∴PO=

2

m．
∴2

2

≤

2

m≤

2

+2．
∴2≤m≤1+

2

．
∵點(diǎn)P（m，m）（m＞0）在二次函數(shù)y=x²-x+c的圖象上，
∴m=m²-m+c，即c=-m²+2m．c是關(guān)于m的二次函數(shù)
∵此拋物線開口向下，且對(duì)稱軸m=1，
∴當(dāng)2≤m≤1+

2

時(shí)，c隨著m的增大而減小
∴-1≤c≤0．
對(duì)于方程組

y=-x y=x2-x+c+ 3 8 .

消去y，則有x²+c+

3

8

=0．即x²=-c-

3

8

．
①當(dāng)-c-

3

8

=0時(shí)，即c=-

3

8

時(shí)，方程x²=-c-

3

8

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有唯一交點(diǎn)．
②當(dāng)-c-

3

8

＞0時(shí)，即c＜-

3

8

時(shí)，即-1≤c＜-

3

8

時(shí)，
方程x²=-c-

3

8

有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
③當(dāng)-c-

3

8

＜0時(shí)，即c＞-

3

8

時(shí)，即-

3

8

＜c≤0時(shí)，
方程x²=-c-

3

8

沒有實(shí)數(shù)根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

沒有交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及分類討論思想的應(yīng)用．