Question

已知

x+y

z

=

x+z

y

=

y+z

x

，且xyz≠0，則分式

(x+y)(y+z)(z+x)

xyz

的值為

8或-1

．

Answer 1

分析：設(shè)

x+y

z

=

x+z

y

=

y+z

x

=k，將原式變形為：x+y=kz，x+z=ky，y+z=kx，就有2（x+y+z）=k（x+y+z），當(dāng)x+y+z=0時，就有x+y=-z，x+z=-y，y+z=-x，可以求出其值，當(dāng)x+y+z≠0時，可以求出k=2，可以求出其值．

解答：解：∵

x+y

z

=

x+z

y

=

y+z

x

，設(shè)

x+y

z

=

x+z

y

=

y+z

x

=k，
∴x+y=kz，x+z=ky，y+z=kx，
∴k（x+y+z）=2（x+y+z），
當(dāng)x+y+z=0時，則x+y=-z，x+z=-y，y+z=-x，
原式=

-z•(-x)•(-y)

xyz

，
=-1；
當(dāng)x+y+z≠0時，則k=2，
原式=

kz．kx．ky

xyz

=k³=8．
故答案為：-1或8．

點評：本題考查了分式的化簡求值，涉及了數(shù)學(xué)分類思想和設(shè)參數(shù)法再分式化簡求值中的運(yùn)用，本題難度一般，但需要認(rèn)真思考，在解答中容易漏解．