Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、PE，將△AEP沿著邊PE折疊，折疊后得到△EPA′，當(dāng)折疊后△EPA′與△BEP的重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一，則此時(shí)BP的長為2或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根據(jù)勾股定理求出BC．①若PA′與AB交于點(diǎn)F，連接A′B，如圖1，易得S_△EFP=$\frac{1}{2}$S_△BEP=$\frac{1}{2}$S_△A′EP，即可得到EF=$\frac{1}{2}$BE=BF，PF=$\frac{1}{2}$A′P=A′F．從而可得四邊形A′EPB是平行四邊形，即可得到BP=A′E，從而可求出BP；②若EA′與BC交于點(diǎn)G，連接AA′，交EP與H，如圖2，同理可得GP=BG，EG=$\frac{1}{2}$EA′=1，根據(jù)三角形中位線定理可得AP=2=AC，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合（BP=BC），從而可求出BP．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AB=4，AE=$\frac{1}{2}$AB=2，BC=2$\sqrt{3}$．
①若PA′與AB交于點(diǎn)F，連接A′B，如圖1．

由折疊可得S_△A′EP=S_△AEP，A′E=AE=2，．
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴S_△BEP=S_△AEP=$\frac{1}{2}$S_△ABP．
由題可得S_△EFP=$\frac{1}{4}$S_△ABP，
∴S_△EFP=$\frac{1}{2}$S_△BEP=$\frac{1}{2}$S_△AEP=$\frac{1}{2}$S_△A′EP，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=BF，PF=$\frac{1}{2}$A′P=A′F．
∴四邊形A′EPB是平行四邊形，
∴BP=A′E=2；
②若EA′與BC交于點(diǎn)G，連接AA′，交EP與H，如圖2．
．
同理可得GP=$\frac{1}{2}$BP=BG，EG=$\frac{1}{2}$EA′=$\frac{1}{2}$×2=1．
∵BE=AE，∴EG=$\frac{1}{2}$AP=1，
∴AP=2=AC，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴BP=BC=2$\sqrt{3}$．
故答案為2或2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等高三角形的面積比等于底的比、三角形中位線定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．