Question

13．如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE是⊙O的直徑．
（1）求證：AB•AC=AD•AE；
（2）若CD=3，AD=6，BD=8，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）首先連接BE，由AD是⊙O的內(nèi)接△ABC的高，AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=∠ADC=90°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，可得∠E=∠C，即可證得△ABE∽△ADC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得AB•AC=AD•AE；
（2）根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=10，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，根據(jù)（1）的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可求得結(jié)果．

解答 證明：（1）連接BE，
∵AD是⊙O的內(nèi)接△ABC的高，AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE；

（2）∵AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CD=3，AD=6，BD=8，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=10，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵AB•AC=AD•AE，
∴AE=$\frac{AB•AC}{AD}$=$\frac{10×3\sqrt{3}}{6}$=5$\sqrt{3}$，
∴⊙O的面積=（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²•π=$\frac{75}{4}$π．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，圓的面積計(jì)算，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．