Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-8ax-9a的圖象經(jīng)過點C（0，3），交x軸于點A、B（A點在B點左側(cè)），頂點為D．
（1）求拋物線的解析式及點A、B的坐標；
（2）將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A′，試求A′的坐標；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將（0，3）代入拋物線解析式求得a的值，從而得出拋物線的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得點A、B的坐標；
（2）如圖1，作A'H⊥x軸于H，可證明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A'H∥OC，即可得出A′H的長，即可求得A′的坐標；
（3）分兩種情況：①如圖2，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得出點P坐標；②如圖3，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A'，以A'B為直徑作⊙M'，⊙M'交拋物線的對稱軸于P'（BC的上方），作M'E⊥拋物線的對稱軸所在的直線，垂足為E，在Rt△P′M′E中，由勾股定理求得P′E的長，然后求得點M的坐標，從而可求得點P′的坐標．

解答 解：（1）∵把C（0，3）代入y=ax²-8ax-9a得-9a=3，解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+3．
∵令y=0得：-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=9，
∴A（-1，0），B（9，0）．
（2）如圖1，作A'H⊥x軸，垂足為H．

∵$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，且∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，
∵A'H∥OC，AC=A'C，
∴OH=OA=1，A'H=2OC=6；
∴A'（1，6）；
（3）分兩種情況：
①如圖2，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方）．

∵x=-$\frac{2a}$=4，
∴點P的橫坐標為4．
由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，
∵A（-1，0），B（9，0），
∴AB=10．
∴MP=$\frac{1}{2}$AB=5．
∴P（4，-5）．
②如圖3所示：以A'B為直徑作⊙M'，⊙M'交拋物線的對稱軸于P′，過點M′作M′E⊥P′F，垂足為E，連接P′M′．

∵點A′與點A關(guān)于BC對稱，
∴AB=A′B=10，∠A=∠A′．
∵∠CP′B=∠CA′B，
∴∠CP′B=∠A．
∵A′（1，6），B（9，0）
∴M′（5，3）．
∴M′E=1．
∵M′P′=$\frac{1}{2}$A′B=5，
∴P′E=$\sqrt{P′M{′}^{2}-M′{E}^{2}}$=$2\sqrt{6}$．
∴點P′的坐標為（4，2$\sqrt{6}$+3）．
綜上所述，點P的坐標為P（4，-5）或（4，2$\sqrt{6}$+3）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、圓周角定理、軸對稱圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識點．本題解題技巧要求高，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求，以AB和A′B為直徑構(gòu)造⊙M和⊙M′是解題的關(guān)鍵．