Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于點A和B，經過A作直線與⊙O₁相交于D，與⊙O₂相交于C，設弧BC的中點為M，弧BD的中點為N，線段CD的中點為K．求證：MK⊥KN．

Answer 1

證明：將△KDN繞點K順時針旋轉180°得△GCK，連接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延長AB交MN于S．…
則CG=DN，∠GCK=∠KDN，
∵弧BC的中點為M，弧BD的中點為N，
∴DN=BN，MC=MB，…
∴CG=BN，
又∵∠KCM=∠MBS，∠GCK=∠KDN=∠SBN，
∴∠GCM=∠MBN，…
在△GCM與△NBM中，
，
∴△GCM≌△NBM（SAS），…
∴GM=MN．
又GK=KN，
∴MK⊥KN…
分析：首先將△KDN繞點K順時針旋轉180°得△GCK，連接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延長AB交MN于S，根據旋轉的性質，即可得CG=DN，∠GCK=∠KDN，又由弧BC的中點為M，弧BD的中點為N，即可證得DN=BN，MC=MB，然后由圓的內接四邊形的性質，可證得∠GCM=∠MBN，即可根據SAS證得△GCM≌△NBM，然后由等腰三角形的性質，證得MK⊥KN．
點評：此題考查了相交圓的性質，圓的內接四邊形的性質，旋轉的性質，等腰三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．