Question

某學(xué)校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20個(gè)，每個(gè)菱形邊長為30厘米．校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)為60°（如圖2）；校門打開時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°（如圖3）．問：校門打開了多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．

Answer 1

解：如圖，校門關(guān)閉時(shí)，取其中一個(gè)菱形ABCD．
根據(jù)題意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大門的寬是：0.3×20≈6（米）；
校門打開時(shí)，取其中一個(gè)菱形A₁B₁C₁D₁．
根據(jù)題意，得∠B₁A₁D₁=10°，A₁B₁=0.3米．
∵在菱形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∠B₁A₁O₁=5°，
∴在Rt△A₁B₁O₁中，
B₁O₁=sin∠B₁A₁O₁•A₁B₁=sin5°×0.3=0.02616（米），
∴B₁D₁=2B₁O₁=0.05232米，
∴伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米；
∴校門打開的寬度為：6-1.0464=4.9536≈5（米）．
故校門打開了5米．
分析：先求出校門關(guān)閉時(shí)，20個(gè)菱形的寬即大門的寬；再求出校門打開時(shí)，20個(gè)菱形的寬即伸縮門的寬；然后將它們相減即可．
點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，難度適中．解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，只要把實(shí)際問題抽象到解直角三角形中，一切將迎刃而解．