Question

（2010•安溪縣一模）如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線CE，過點A作AE⊥CE于E．
（1）求證：∠BAC=∠EAC；
（2）若AB=5，BC=3，求tan∠EAC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于EC是⊙O的切線，根據(jù)弦切角定理可知：∠ECA=∠B，而∠ACB、∠E同為直角，那么∠EAC、∠BAC為等角的余角，由此得證．
（2）首先在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的值，即可得∠BAC的正切值，聯(lián)立（1）的結(jié)論即可得解．
解答：（1）證明：
∵AB是⊙O的切線，
∴∠ACB=90°；
已知EC切⊙O于C，由弦切角定理得：∠ECA=∠B；
又∵∠ECA=90°-∠ECA，∠BAC=90°-∠B，
∴∠CAD=∠BAC．

（2）解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=3；
∴tan∠BAC==，
∵∠CAE=∠BAC，
∴tan∠CAE=tan∠BAC=．（9分）
點評：此題主要考查的是切線的性質(zhì)、弦切角定理以及解直角三角形的相關(guān)知識，難度不大．