【題目】如圖①,已知拋物線C1:y=a(x+1)2﹣4的頂點為C,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點B的橫坐標(biāo)是1.
(1)求點C的坐標(biāo)及a 的值;
(2)如圖②,拋物線C2與C1關(guān)于x軸對稱,將拋物線C2向右平移4個單位,得到拋物線C3.C3與x軸交于點B、E,點P是直線CE上方拋物線C3上的一個動點,過點P作y軸的平行線,交CE于點F.
①求線段PF長的最大值;
②若PE=EF,求點P的坐標(biāo).
【答案】(1)a=1;頂點C為(﹣1,﹣4).(2)①當(dāng)x=時,PF有最大值為;②P(,).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可直接求得頂點C的坐標(biāo),把B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得a的值;
(2)①C2的頂點坐標(biāo)是C關(guān)于x軸的對稱點,且二次項系數(shù)互為相反數(shù),據(jù)此即可求得C2的解析式,然后根據(jù)平移的性質(zhì)求得C3的解析式.利用待定系數(shù)法求得直線CE的解析式,則PF的長即可利用x表示出來,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得PF的最大值;
②PE=EF則P和F關(guān)于x軸對稱,即縱坐標(biāo)互為相反數(shù),據(jù)此即可列方程求解.
解:(1)頂點C為(﹣1,﹣4).
∵點B(1,0)在拋物線C1上,∴0=a(1+1)2﹣4,解得,a=1;
(2)①∵C2與C1關(guān)于x軸對稱,
∴拋物線C2的表達(dá)式為y=﹣(x+1)2+4,
拋物線C3由C2平移得到,
∴拋物線C3為y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5,
∴E(5,0),
設(shè)直線CE的解析式為:y=kx+b,
則,解得,
∴直線BC的解析式為y=x﹣,
設(shè)P(x,﹣x2+6x﹣5),則F(x,x﹣),
∴PF=(﹣x2+6x﹣5)﹣(x﹣)=﹣x2+x﹣=﹣(x﹣)2+,
∴當(dāng)x=時,PF有最大值為;
②若PE=EF,∵PF⊥x軸,
∴x軸平分PF,
∴﹣x2+6x﹣5=﹣x+,
解得x1=,x2=5(舍去)
∴P(,).
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【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC于點D,BE平分∠ABC,若∠ABC=64°,∠AEB=70°.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)若點F為線段BC上的任意一點,當(dāng)△EFC為直角三角形時,求∠BEF的度數(shù).
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【題目】用反證法證明“在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”應(yīng)先假設(shè):在一個三角形中( )
A. 至多有一個內(nèi)角大于或等于60° B. 至多有一個內(nèi)角大于60°
C. 每一個內(nèi)角小于或等于60° D. 每一個內(nèi)角大于60°
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【題目】氫原子中電子和原子核之間的距離為0.00000000529厘米,用科學(xué)記數(shù)法表示這個距離為( )
A. 5.29×10-8 cm ; B. 5.29×10-9cm; C. 0.529×10-8 cm; D. 52.9×10-10 cm
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【題目】在△ABC內(nèi)一點P滿足PA=PB=PC,則點P一定是△ABC( )
A. 三條角平分線的交點 B. 三條中線的交點
C. 三條高的交點 D. 三邊垂直平分線的交點
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【題目】我們知道,任何一個三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點,如圖,若△ABC 的三條內(nèi)角平分線相交于點I,過I作DE⊥AI分別交AB、AC于點D、E.
(1)請你通過畫圖、度量,填寫右上表(圖畫在草稿紙上,并盡量畫準(zhǔn)確)
(2)從上表中你發(fā)現(xiàn)了∠BIC與∠BDI之間有何數(shù)量關(guān)系,請寫出來,并說明其中的道理.
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