Question

【問題情境】：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖所示的方式擺放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DF⊥AC于點M，DE⊥BC于點N，試判斷線段OM與ON的數量關系，并說明理由．
【探究展示】：小宇同學展示出如下正確的解法：
解：OM=ON，證明如下：
連接CO，則CO是AB邊上中線，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分線．（依據1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依據2）
【反思交流】：
（1）上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：
依據1：

 

；
依據2：

 

．
你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質

專題：計算題

分析：（1）上述證明過程依據1是根據三線合一；依據2是根據角平分線定理，
（2）可利用AAS得到三角形AMO與三角形BNO全等，即可得到OM=ON．

解答：解：（1）OM=ON，證明如下：
連接CO，則CO是AB邊上中線，
∵CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分線（三線合一），
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM=ON（角平分線定理）；
故答案為：三線合一；角平分線定理；
（2）∵OF⊥AC，OE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵O為AB的中點，
∴AO=BO，
在Rt△AMO和Rt△BNO中，

∠AMO=∠BNO=90° ∠A=∠B=45° AO=BO

，
∴Rt△AMO≌Rt△BNO（AAS），
∴OM=ON．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及角平分線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．