Question

若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．
（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；
（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的圖象經(jīng)過點A（1，1），若y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y₂的表達式，并求出當0≤x≤3時，y₂的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：代數(shù)綜合題,壓軸題,新定義

分析：（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達式即可．
（2）由y₁的圖象經(jīng)過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y₂的表達式，然后將函數(shù)y₂的表達式轉(zhuǎn)化為頂點式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題．

解答：解：（1）設(shè)頂點為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x-h）²+k，
當a=2，h=3，k=4時，
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x-3）²+4．
∵2＞0，
∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．
當a=3，h=3，k=4時，
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x-3）²+4．
∵3＞0，
∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．
∵兩個函數(shù)y=2（x-3）²+4與y=3（x-3）²+4頂點相同，開口都向上，
∴兩個函數(shù)y=2（x-3）²+4與y=3（x-3）²+4是“同簇二次函數(shù)”．
∴符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x-3）²+4與y=3（x-3）²+4．

（2）∵y₁的圖象經(jīng)過點A（1，1），
∴2×1²-4×m×1+2m²+1=1．
整理得：m²-2m+1=0．
解得：m₁=m₂=1．
∴y₁=2x²-4x+3
=2（x-1）²+1．
∴y₁+y₂=2x²-4x+3+ax²+bx+5
=（a+2）x²+（b-4）x+8
∵y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，
∴y₁+y₂=（a+2）（x-1）²+1
=（a+2）x²-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞-2．
∴

b-4=-2(a+2) 8=(a+2)+1

．
解得：

a=5 b=-10

．
∴函數(shù)y₂的表達式為：y₂=5x²-10x+5．
∴y₂=5x²-10x+5
=5（x-1）²．
∴函數(shù)y₂的圖象的對稱軸為x=1．
∵5＞0，
∴函數(shù)y₂的圖象開口向上．
①當0≤x≤1時，
∵函數(shù)y₂的圖象開口向上，
∴y₂隨x的增大而減�。�
∴當x=0時，y₂取最大值，
最大值為5（0-1）²=5．
②當1＜x≤3時，
∵函數(shù)y₂的圖象開口向上，
∴y₂隨x的增大而增大．
∴當x=3時，y₂取最大值，
最大值為5（3-1）²=20．
綜上所述：當0≤x≤3時，y₂的最大值為20．

點評：本題考查了求二次函數(shù)表達式以及二次函數(shù)一般式與頂點式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（開口方向、增減性），考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力．而對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵．