Question

（2006•臺(tái)州）善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個(gè)問(wèn)題，你能幫助解決嗎？
問(wèn)題一：平行于梯形底邊的直線(xiàn)截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）從特殊情形入手探究．假設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線(xiàn)（如圖①）．根據(jù)相似梯形的定義，請(qǐng)你說(shuō)明梯形AMND與梯形ABCD是否相似；
（2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線(xiàn)截兩腰所得的梯形與原梯形______；（填“相似”或“不相似”或“相似性無(wú)法確定”．不要求證明）
問(wèn)題二：平行于梯形底邊的直線(xiàn)截兩腰所得的兩個(gè)小梯形是否相似？
（1）從特殊平行線(xiàn)入手探究．梯形的中位線(xiàn)截兩腰所得的兩個(gè)小梯形______；（填“相似”或“不相似”或“相似性無(wú)法確定”．不要求證明）
（2）從特殊梯形入手探究．同上假設(shè)，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線(xiàn)PQ（點(diǎn)P，Q在梯形的兩腰上，如圖②），使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎？請(qǐng)根據(jù)相似梯形的定義說(shuō)明理由；
（3）一般結(jié)論：對(duì)于任意梯形（如圖③），一定______（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線(xiàn)PQ，使截得的兩個(gè)小梯形相似．若存在，則確定這條平行線(xiàn)位置的條件是=______

Answer 1

【答案】分析：兩個(gè)梯形相似，因而兩個(gè)梯形的對(duì)應(yīng)腰的相等，對(duì)應(yīng)底的比相等；這個(gè)圖形中判定相似要同時(shí)滿(mǎn)足這幾個(gè)條件．反之，若相似則兩個(gè)梯形的對(duì)應(yīng)腰的相等，對(duì)應(yīng)底的比相等．
解答：解：?jiǎn)栴}一：（1）兩個(gè)梯形的腰相等，
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而這兩個(gè)梯形一定不相似；
（2）不相似．
問(wèn)題二：（1）不相似；
（2）梯形APQD與梯形PBCQ相似，
∴=，即=
解得：PQ=4．
∵===．
又∵AP+PB=6，
∴AP=2
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
則，，
∵AD=a，BC=b，
∴PQ==，
∴==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形相似的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，反之，相似圖形的判定方法是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．