Question

如圖，一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象經過A（0，-2），B（1，0）兩點，與反比例函數(shù)y=

k2

x

的圖象在第一象限內的交點為M（m，4）．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥MP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：（1）先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，再利用一次函數(shù)解析式確定M點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；
（2）先利用兩點間的距離公式計算出AB=

5

，BM=2

5

，再證明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比計算出PB=10，則OP=11，于是可得到P點坐標．

解答：解：（1）把A（0，-2），B（1，0）代入y=k₁x+b得

b=-2 k1+b=0

，
解得

k1=2 b=-2

，
所以一次函數(shù)解析式為y=2x-2；
把M（m，4）代入y=2x-2得2m-2=4，
解得m=3，
則M點坐標為（3，4），
把M（3，4）代入y=

k2

x

得k₂=3×4=12，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

12

x

；
（2）存在．
∵A（0，-2），B（1，0），M（3，4），
∴AB=

5

，BM=

22+42

=2

5

，
∵PM⊥AM，
∴∠BMP=90°，
∵∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴

AB

PB

=

OB

BM

，即

5

PB

=

1

2 5

，
∴PB=10，
∴OP=11，
∴P點坐標為（11，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形相似的判定與性質．