Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，2），0，-3），點(diǎn)P是x軸正半軸上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線BC⊥AP于點(diǎn)D，直線BC與x軸交于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)OP=2時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式；
（2）若△OPD為等腰三角形，則OP的值為$\frac{3}{2}$或4．

Answer 1

分析 （1）易證△BOC是等腰直角三角形，從而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）由于等腰三角形OPD的頂角不確定，故需分情況討論，然后運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及勾股定理就可解決問題．

解答 解：（1）∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，2），0，-3），
∴OA=2，OB=3．
∵OP=2，∴OA=OP．
∵∠AOP=90°，∴∠APO=45°，
∴∠CPD=∠APO=45°．
∵BC⊥AP，
∴∠PCD=45°．
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴OC=OB=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-3；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左邊時，如圖1，
此時∠OPD＞90°．
∵△OPD為等腰三角形，∴OP=DP．
在△AOP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠CDP=90°}\\{OP=DP}\\{∠APO=∠CPD}\end{array}\right.$
∴△AOP≌△CDP，
∴AP=CP，
∴OC=AD．
在△ADB和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBO}\\{∠ADB=∠COB=90°}\\{AD=CO}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△COB，
∴CB=AB=5，
∴AD=OC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
設(shè)OP=x，則有AP=CP=4-x，
在Rt△AOP中，
2²+x²=（4-x）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∴OP=$\frac{3}{2}$．
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右邊時，如圖2，
此時∠ODP＞90°．
∵△OPD為等腰三角形，
∴OD=DP，
∴∠DOP=∠DPO．
∵∠AOP=90°，
∴∠OAP+∠APO=90°，∠AOD+∠DOP=90°，
∴∠OAP=∠AOD，
∴AD=OD，
∴AD=DP．
設(shè)AD=x，則有AP=2x．
∵∠DAB=∠OAP，∠ADB=∠AOP=90°，
∴△ADB∽△AOP，
∴$\frac{AD}{AO}$=$\frac{AB}{AP}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{5}{2x}$，
解得x=$\sqrt{5}$（舍去）．
∴AP=2$\sqrt{5}$，
∴OP=$\sqrt{A{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{20-4}$=4．
綜上所述：OP的值為$\frac{3}{2}$或4．
故答案為$\frac{3}{2}$或4．

點(diǎn)評 本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．