Question

【題目】（問(wèn)題情境）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2=AD·AB，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，試證明這個(gè)定理；

（結(jié)論運(yùn)用）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．

（1）試?yán)�用射影定理證明△ABC∽△BED；

（2）若DE=2CE，求OF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

(1)可根據(jù)相似三角形的判定得到△ABC∽△BED；
（2）先計(jì)算出DE,CE，BE，OB的長(zhǎng)度，再利用（1）中結(jié)論△ABC∽△BED結(jié)合比例性質(zhì)解出OF．

（1）如圖1．

∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，

而∠CAD=∠BAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴

如圖2．

∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴

∵CF⊥BE，∴，

∴BOBD=BFBE，即=，

而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；

（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2．

在Rt△BCE中，BE==2．在Rt△OBC中，OB=BC=3．

∵△BOF∽△BED，

∴=，即=，∴OF=．