Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸上，A點的坐標(biāo)為（O，4）．
（1）則B的坐標(biāo)為

 

；
（2）將正方形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°，得正方形ODEF，邊DE交BC于G，求G點坐標(biāo)．
（3）如圖2，⊙O₁與正方形ABCO四邊都相切，直線MQ切⊙O₁于P，分別交y軸、x軸、線段BC于M、N、Q．求證：O₁N平分∠MO₁Q．
（4）延長BA至H，使AH=AB，在CA的延長線上任取一點T，經(jīng)過A、H、T作⊙O2，過T作直徑TS，連AS（圖3），試問，T在運(yùn)動過程中，AT-AS的值是否為定值？若是，定值為

 

；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形四邊相等的性質(zhì)求B點到x軸，y軸的距離，即可求得B點坐標(biāo)；
（2）連接OG，由題可知旋轉(zhuǎn)角∠AOD、∠FOC的度數(shù)為30°，進(jìn)而求出∠GOC的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求出G點坐標(biāo)；
（3）由切線長定理證得∠MO₁Q=90°，由切線長定理或其他方法證得∠NO₁Q=45°，O₁N平分∠MO₁Q；
（4）在AT上取點V，使TV=AS，構(gòu)造出全等三角形△HTV≌△HSA，判斷出△HAV為等腰直角三角形，求得AT-AS=AV=

2

為定值．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是正方形且A點的坐標(biāo)為（O，4），
∴AB=BC=OA=4，
∴B點的坐標(biāo)為（4，4）；

（2）連接OG，如圖1
∵正方形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°得正方形ODEF，
∴∠AOD=30°，
∴∠DOC=60°，
在Rt△ODG和Rt△OCG中，

OD=OC OG=OG ∠D=∠OCG=90°

，
∴Rt△ODG≌Rt△OCG（HL），
∴∠DOG=∠COG，
∴∠COG=30°，
∵A點的坐標(biāo)為（O，4），四邊形OABC為正方形，
∴OC=OA=4，
∴CG=tan30°OC=

3

3

OC=

4 3

3

，
∴G點的坐標(biāo)為（4，

4

3

3

）；


（3）證明：∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根據(jù)切線長定理，∠O₁QM+∠O₁MQ=180°×

1

2

=90°，
∴∠MO₁Q=180°-90°=90°，
由切線長定理∠NO₁Q=45°，
∴O₁N平分∠MO₁Q；

（4）如圖2，在AT上取點V，使TV=AS，即AT-AS=AV，
∵TS是直徑，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵AH=AB，
∴點H坐標(biāo)為（-4、4），
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
在△HTV≌△HSA，

HT=HS ∠HTV=∠HSA TV=AS

，
∴△HTV≌△HSA（SAS），
∴△HAV為等腰直角三角形，
∴AT-AS=AV=4

2

．
∴AT-AS的值為定值4

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題．難度在于（1）此題不僅要熟悉旋轉(zhuǎn)角，還要知道旋轉(zhuǎn)不變性，并聯(lián)系特殊三角形用勾股定理解答；（2）運(yùn)用切割線定理是解答此題的關(guān)鍵；（3）構(gòu)造全等三角形，比作輔助線難度要大，但確是一種有效的解題方法．