Question

聰聰同學(xué)從小就喜歡動(dòng)手動(dòng)腦，請(qǐng)看他的研究：
①以AB為直徑畫(huà)⊙O；
②在⊙O上任取一點(diǎn)C；
③作∠ACB的角平分線與AB相交于點(diǎn)D；
④作CD的中垂線L與AC、BC分別相交于E、F；
⑤連接DE、DF．
（1）如圖，他發(fā)現(xiàn)：①∠ADE與∠BDF互余；②四邊形CEDF為正方形；③四邊形CEDF的面積為AE•BF；④四邊形CEDF的面積為常數(shù)．
你認(rèn)為其中正確的是

 

；（請(qǐng)?zhí)钌纤�有正確答案的序號(hào)）
（2）從你認(rèn)為是正確的結(jié)論中選一個(gè)加以證明．

Answer 1

分析：由這位同學(xué)的作法知：EF垂直平分CD，則CF=DF，DE=CE；△CEF中，CD平分∠ECF，且CD⊥EF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得知△CEF是等腰直角三角形，則CE=CF=DE=DF，即四邊形CEDF是正方形，根據(jù)這個(gè)結(jié)論即可判斷出①②是否正確；
在證結(jié)論③是否正確時(shí)，可通過(guò)證△BFD∽△AED，根據(jù)相似三角形得到的成比例線段即可判斷出DE•DF是否與AE•BF相等；由于給出的條件不足，無(wú)法證明④的結(jié)論一定成立．

解答：解：（1）①②③；（3分）

（2）證明：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
∵EF垂直平分CD，
∴CE=DE，DF=CF；
△CEF中，CD平分∠ACB，CD⊥EF；易知△CEF是等腰直角三角形；
則：CE=CF；
∴CE=DE=DF=CF，故四邊形CEDF是正方形；（故②正確）
∴∠EDF=90°，即∠ADE與∠FDB互余；（故①正確）
由②易知：DF⊥BC，即DF∥AC；
∴∠FDB=∠A；
又∵∠DEA=∠BFD=90°；
∴△AED∽△DFB；
∴

DF

AE

=

BF

DE

，即DE•DF=AE•BF；
∴S_{正方形CEDF}=DE•DF=AE•BF．（故③正確）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．