Question

如果我們定義：“到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的開心點．”那么：
（1）如圖1，觀察并思考，△ABC的開心點有

 

個；
（2）如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，開心點P在高CD上，且PD=

1

2

AB，則∠APB的度數(shù)為

 

；
（3）已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，開心點P在AC邊上，試探究PA的長．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線判斷開心點有無數(shù)個；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD=

1

2

AB，然后判斷出△PBD是等腰直角三角形，再根據(jù)等邊三角形的對稱性可得∠APB=2∠BPD；
（3）利用勾股定理列式求出AC，再分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況討論求解．

解答：解：（1）邊AB、BC、AC三邊的垂直平分線上的點都是開心點，
所以，有無數(shù)個開心點；

（2）∵CD為等邊△ABC的高，
∴BD=

1

2

AB，
∵開心點P在高CD上，且PD=

1

2

AB，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∴∠BPD=45°，
由等邊三角形的對稱性，∠APB=2∠BPD=2×45°=90°；
故答案為：（1）無數(shù)；（2）90°；

（3）解：在Rt△ABC中，BC=5，AB=3，
∴AC=

BC2-AB2

=

52-32

=4，
①若PB=PC，設PA=x，則x²+3²=（4-x）²，
∴x=

7

8

，
即PA=

7

8

，
②若PA=PC，則PA=2，
③若PA=PB，在Rt△PAB中，不可能，
綜上所述，PA=2或

7

8

．

點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解“開心點”的定義是解題的關鍵，難點在于（3）分情況討論．