Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x-4k與雙曲線y=

16k

x

在第一象限的交點(diǎn)為A（a，b），且OA=4

3

．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）將直線y=x-4k向上平移10個(gè)單位后與雙曲線y=

16k

x

相交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）把A（a，b）分別代入兩個(gè)解析式得到

b=a-4k b= 16k a

，變形得到

a-b=4k ab=16k

，利用完全平方公式有a²+b²=（a-b）²+2ab=16k²+32k，再利用勾股定理得OA²=a²+b²=48，所以16k²+32k=48，解方程得k₁=-3（舍去），k₂=1，于是可得到兩函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)直線平移的規(guī)律得到直線y=x-4向上平移10個(gè)單位后的直線解析式為y=x+6，然后解方程組

y=x+6 y= 16 x

 即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（a，b）是直線y=x-4k與雙曲線y=

16k

x

在第一象限的交點(diǎn)，
∴

b=a-4k b= 16k a

，
∴

a-b=4k ab=16k

，
∴a²+b²=（a-b）²+2ab=16k²+32k，
∵OA=4

3

，
∴OA²=a²+b²=48，
∴16k²+32k=48，即k²+2k-3=0
解得k₁=-3（舍去），k₂=1，
∴k=1，
∴直線的解析式為y=x-4，雙曲線的解析式為y=

16

x

；

（2）直線y=x-4向上平移10個(gè)單位后的直線解析式為y=x+6，
解方程組

y=x+6 y= 16 x

 得

x=2 y=8

或

x=-8 y=-2

，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）或（-8，-2）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．