Question

4．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，AD上的點(diǎn)，且AE=BF=DG，連接EF，GE，GF．
（1）△BEF可以看成是△AGE繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角所得，請?jiān)趫D中畫出點(diǎn)M，并直接寫出α角的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，△EFG的面積取得最小值？請說明你的理由；
（3）試判斷直線CD與△EFG外接圓的位置關(guān)系，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD交GF于點(diǎn)M即可，根據(jù)題意確定旋轉(zhuǎn)角；
（2）設(shè)正方形邊長為a，AE=BF=DG=x，證明Rt△GAE和Rt△EBF，得到∠GEF是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案；
（3）分點(diǎn)E位于AB的中點(diǎn)和點(diǎn)E位于AB的非中點(diǎn)兩種情況，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的確定方法解得即可．

解答 解：（1）如圖1，連接BD交GF于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，
旋轉(zhuǎn)α=∠AMB=90°；
（2）當(dāng)點(diǎn)E位于AB的中點(diǎn)時(shí)，△EFG面積取得最小值．
理由如下：設(shè)正方形邊長為a，AE=BF=DG=x，
則AG=a-x，
在Rt△GAE中，GE²=AG²+AE²=（a-x）²+x²=2x²-2ax+a²，
在Rt△GAE和Rt△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GA=EB}\\{∠DAB=∠ABC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△GAE和Rt△EBF，
∴GE=FE，∠AEG=∠BFE，
∴∠GEF是等腰直角三角形，
∴△EFG的面積=$\frac{1}{2}$GE²=（x-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{4}$a²，
所以當(dāng)x=$\frac{1}{2}$a，即點(diǎn)E位于AB的中點(diǎn)時(shí)，△EFG面積取得最小值；
（3）當(dāng)點(diǎn)E位于AB的中點(diǎn)時(shí)，
直線CD與△EFG的外接圓相切，
理由：GF的中點(diǎn)為O，連接EO，
則EO=$\frac{1}{2}$GF，
當(dāng)點(diǎn)E位于AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)G位于AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F位于CB的中點(diǎn)，
則GF=CD=AD，
∴EO=$\frac{1}{2}$AD，
∴當(dāng)O到CD的距離為$\frac{1}{2}$AD，
∴直線CD與△EFG的外接圓相切；
當(dāng)點(diǎn)E位于AB的非中點(diǎn)時(shí)，直線CD與△EFG的外接圓相交，
理由：當(dāng)點(diǎn)E位于AB的非中點(diǎn)時(shí)，GF＞CD，
∴O到CD的距離＜OE，
∴直線CD與△EFG的外接圓相交．

點(diǎn)評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系，正確根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，注意等腰直角三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．