Question

15．已知如圖1：拋物線y=ax²-x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=1，且過點(diǎn)$（{2，-\frac{3}{2}}）$；
（1）求出拋物線的解析式及點(diǎn)C坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E（0，1），作直線BE交拋物線于另一點(diǎn)F，點(diǎn)K為點(diǎn)D關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)，連接KE，求△KEF的面積．
（3）如圖2，在（2）的條件下，將△FKE繞著點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△FK′E′，點(diǎn)M、N分別為線段FE、BA上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從F向E運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向A運(yùn)動(dòng)，M、N同時(shí)出發(fā)，連接ME′，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在此運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在時(shí)間t，使得點(diǎn)N在線段ME′的垂直平分線上？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)稱軸公式以及點(diǎn)$（{2，-\frac{3}{2}}）$代入，列出方程組解決．
（2）要求△KEF的面積只要知道EF以及邊EF上的高，通過證明發(fā)現(xiàn)這個(gè)高就是線段BK，由此可以解決問題．
（3）求出點(diǎn)E′坐標(biāo)，根據(jù)MN=NE′列出方程解決．

解答 解：（1）由題意：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=1}\\{4a-2+c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，點(diǎn)C（0，-$\frac{3}{2}$）．
（2）如圖1中，F(xiàn)P⊥x軸，DH⊥OA垂足分別為P、H，連接BD、KB．
令y=0得$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=0解得x=-1或3，所以B（-1，0），A（3，0），
設(shè)直線BE為：y=kx+b，
∵y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)B（-1，0），E（0，1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線BE為y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)（5，6），
∴PB=PF=6，∠FBP=45°，
∵拋物線頂點(diǎn)D（1，-2），
∴BH=DH=2，
∴∠HBD=∠HDB=45°，
∴∠DBF=90°，
∴DB⊥BE，
∵D、K關(guān)于直線BE對(duì)稱，
∴K、B、D共線，
∴KB=BD=$\sqrt{B{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵EF=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴S_△EFK=$\frac{1}{2}$•EF•KB=$\frac{1}{2}$$•5\sqrt{2}•2\sqrt{2}$=10．
（3）存在．理由如下：
如圖2中，由（1）可知∠BFP=∠FBP=45°，
∵EF=5$\sqrt{2}$，△FE′K′是由△FEK逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到，
∴點(diǎn)E′在直線FP上，
∴E′（5，5$\sqrt{2}$-6），
∵點(diǎn)N在ME′的垂直平分線上，
∴NM=NE，
∵點(diǎn)N坐標(biāo)（t-1，0），點(diǎn)M坐標(biāo)（5-t，6-t），
∴（t-1-5+t）²+（6-t）²=（5-t+1）²+（5$\sqrt{2}$-6）²，
∴t=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$或6-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)不變性等知識(shí)，利用特殊三角形（等腰直角三角形）是解決本題的關(guān)鍵．