Question

14．如圖，平行四邊形ABCD的頂點A（-12，0），B（0，9），C（0，$\frac{21}{4}$），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B．
（1）求點D的坐標．
（2）關(guān)于x的方程ax²+bx+c-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$x有且只有一個解，求拋物線的解析式．
（3）在（2）的條件下，點P為拋物線上y=ax²+bx+c上一動點（不與A、B重合），過點P作x軸垂線交線段CD于Q，若∠AQD=45°-∠BQC，直接寫出點P的橫坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)即可求解．
（2）根據(jù)關(guān)于x的方程ax²+bx+c-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$x有且只有一個解，利用判別式△=0求出a即可．
（3）方法一：如圖所示，在直線AB上方作等腰直角三角形△ABE，EN⊥y軸，垂足為N，以AE中點M為圓心AM為半徑畫圓交直線CD于₁1，Q₂，可以證明點Q₁1，Q₂就是滿足條件的QQ，再利用MA=MQ列出方程解決．
方法二；利用旋轉(zhuǎn)法，求出點H坐標，再根據(jù)k_QB=k_BH列出方程求解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵OB=9，OC=$\frac{21}{4}$，
∴AD=BC=9-$\frac{21}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴點D坐標為（-12，-$\frac{15}{4}$）．
（2）∵拋物線經(jīng)過點A、B．
∴$\left\{\begin{array}{l}{144a-12b+c=0}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴b=$\frac{48a+3}{4}$，
由ax²+$\frac{48a+3}{4}$x+9-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$x，整理得：4ax²+48ax+15=0，
∵此方程有且只有一個解，
∴△=0，
∴（48a）²-16a×15=0，
∴a=$\frac{5}{48}$（或0不合題意舍棄），
∴拋物線表達式為y=$\frac{5}{48}$x²+2x+9．
（3）如圖所示，在直線AB上方作等腰直角三角形△ABE，EN⊥y軸，垂足為N，以AE中點M為圓心AM為半徑畫圓交直線CD于Q₁，Q₂，
∵∠AEB=45°，∠AEB+∠AQ₁B=180°，
∴∠AQ₁B=135°，
∴∠AQ₁D+∠BQ₁C=45°，
∴點Q₁符合條件，同理點Q₂也符合條件，
∵∠EBN+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠EBN，
在△EBN和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENB=∠AOB=90°}\\{∠EBN=∠BAO}\\{EB=AB}\end{array}\right.$，
∴△EBN≌△BAO，
∴BN=AO=12，EN=BO=9，
∴點E（-9，21），點M（-$\frac{21}{2}$，$\frac{21}{2}$），
∵直線CD為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{21}{4}$，
設(shè)點P的橫坐標為m，則點Q₁（m，$\frac{3}{4}$m+$\frac{21}{4}$），
由AM=MQ₁得到：（$\frac{15\sqrt{2}}{2}$）²=（m+$\frac{21}{2}$）²+（$\frac{3}{4}$m-$\frac{21}{4}$）²，
整理得：5m²+42m+81=0解得m=-3或-$\frac{27}{5}$，
故P點橫坐標為-3或-$\frac{27}{5}$．
附（3）方法二：過點A作BQ垂線交BQ的延長線于H（見下圖），設(shè)點P橫坐標為t，則Q（t，$\frac{3}{4}t+\frac{21}{4}$），
∵∠AQD=45°-∠BQC，
∴∠AQH=45°
∴△AQH是等腰直角三角形，
∴點Q可以視為的A繞點H順時針旋轉(zhuǎn)90°而成，設(shè)H（m，n），
將點H平移至原點H′（0，0），則A′（-12-m，-n），
將A′繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得Q′（-n，12+m）
則Q平移前坐標（m-n，12+m+n），
∴m-n=t，12+m+n=$\frac{3}{4}$t+$\frac{21}{4}$，
∴m=$\frac{7t-27}{8}$，n=$\frac{-t-27}{8}$，
∴點H（$\frac{7t-27}{8}$，$\frac{-t-27}{8}$），
∵點H、點Q、點B共線，
∴k_QB=k_BH，
∴$\frac{\frac{3}{4}t+\frac{21}{4}-9}{t-0}=\frac{\frac{-t-27}{8}-9}{\frac{7t-27}{8}-0}$，
整理得到：5t²+42t+81=0，
∴t=-3或-$\frac{27}{5}$．
故點P橫坐標為-3或-$\frac{27}{5}$．

點評 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)知識、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形等知識，綜合性比較強，通過45度角想到等腰直角三角形添加了輔助線是解題的關(guān)鍵．