Question

（2010•淄博）如圖，D是半徑為R的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交直徑AB的延長線于點C，下列四個條件：①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=

3

R．其中，使得BC=R的有（　　）

A．①②

B．①③④

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

分析：此題的四個結(jié)論都需要構(gòu)造直角三角形來求證，連接OD，若BC=R，那么OC=2OD，即∠C=30°，可據(jù)此對四個結(jié)論進行判斷．

解答：解：連接OD，則OD⊥CD；
①∵AD=DC，
∴∠A=∠C，
∴∠DOC=2∠A=2∠C；
在Rt△ODC中，∠C+∠DOC=90°，
即∠A=∠C=30°，
∴OC=2OD，OB+BC=2OD，由于OB=OD，故BC=OB=R，①正確；
②由①可知：當∠A=30°時，可以得到BC=R，故②正確；
③∠ADC=120°，則∠A=∠C=

1

2

（180°-∠ADC）=30°，
由①②知，當∠A=30°時，BC=R成立，故③正確；
④DC=

3

R，則tan∠C=

OD

CD

=

3

3

，即∠A=∠C=30°，
故④正確；
所以四個結(jié)論都能是BC=R成立，
故選D．

點評：此題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理以及解直角三角形的應用，難度不大．