Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E在BC的延長線上，且∠BDE=∠ADC．求證：AB•BD=DE•AD．

Answer 1

證明：∵梯形ABCD中，AB=CD，
∴∠A=∠ADC（1分）
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠A=∠BDE（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE（1分）
∴△ABD∽△DEB（1分）
∴（2分）
∴AB•DB=AD•DE（1分）
分析：根據已知條件知梯形ABCD是等腰梯形，等腰梯形的兩個底角∠A=∠ADC，又由已知條件∠BDE=∠ADC可推知∠A=∠BDE；根據兩直線AD∥BC，知內錯角∠ADB=∠DBE，∴由相似三角形的判定定理AA判知△ABD∽△DEB；然后由相似三角形的對應邊成比例得到，即AB•BD=DE•AD．
點評：本題主要考查了等腰梯形的判定與性質、相似三角形的判定與性質．在證明AB•DB=AD•DE時，本題是通過證明△ABD∽△DEB，從而得到相似三角形的對應邊的比，即AB•DB=AD•DE的比例式的形式．