Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．

（1）過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖①），求證：AE=CG；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長線于點(diǎn)H,并交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

⑴證明：因?yàn)?i>BF⊥CE于點(diǎn)F,所以∠CFB=90°，

所以∠ECB+∠CBF=90°.

又因?yàn)椤?i>ACE +∠ECB=90°，所以∠ACE =∠CBF .

因?yàn)?i>AC=BC, ∠ACB=90°，所以∠A=∠CBA=45°.

又因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以∠DCB=45°.

因?yàn)椤?i>ACE =∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，

所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.

(2)解：BE=CM.證明：∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACH +∠BCF=90°.

∵ CH⊥AM，即∠CHA=90°,∴ ∠ACH +∠CAH=90°,∴ ∠BCF=∠CAH.

∵ CD為等腰直角三角形斜邊上的中線,∴ CD=AD.∴ ∠ACD=45°.

在△CAM與△BCE中,BC=CA ,∠BCF=∠CAH,∠CBE=∠ACM,

∴ △CAM ≌△BCE,∴ BE=CM.