Question

（2007•湖州）如圖，P是射線y=x（x＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓與y軸相切于C點(diǎn)，與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若⊙P的半徑為5，則P點(diǎn)坐標(biāo)是______；A點(diǎn)坐標(biāo)是______；以P為頂點(diǎn)，且經(jīng)過A點(diǎn)的拋物線的解析式是______；
（2）在（1）的條件下，上述拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D，請(qǐng)說明理由；
（3）試問：是否存在這樣的直線l，當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)都在直線l上？若存在，請(qǐng)求出直線l的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果圓的半徑為5，那么P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，可根據(jù)直線O的解析式求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，連接PA，過P作PQ⊥BA于M，那么PQ=OC，由此在直角三角形OPQ中，根據(jù)圓的半徑和P點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出AM的長(zhǎng)，即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式來設(shè)拋物線的，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中即可求出拋物線的解析式．
（2）由題意可知：D點(diǎn)必在y軸上，因此可根據(jù)（1）的拋物線的解析式求出其與y軸的交點(diǎn)，即可判斷出D點(diǎn)是否在拋物線上．
（3）可仿照（1）的解題過程進(jìn)行求解．可先根據(jù)直線OP的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)仿照（1）的方法求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出所求的直線解析式．
解答：解：（1）P（5，3）；
A（1，0）；
y=-（x-5）²+3．

（2）C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），
∵拋物線y=-與y軸的交點(diǎn)（0，-），
∴D點(diǎn)不在拋物線y=-（x-5）²+3上．

（3）設(shè)P（m，n），m＞0，則n=m，
過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q，則AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=，
∴AQ=m，
∴A（，B（），C（0，），
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-m）（x-），
將C（0，）代入解析式，
得a=，
∴y=（x-m）（x-m）
=（x²-2mx+m²）
=[（x-m）²-m²]
∴y=（x-m）²-m
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-）
∴存在直線l：y=-，
當(dāng)P在射線y=上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)都在直線上．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、垂徑定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．