已知關于x的一元二次方程(a﹣1)x2+(2﹣3a)x+3=0.
(1)求證:當a取不等于1的實數(shù)時,此方程總有兩個實數(shù)根;
(2)若m,n(m<n)是此方程的兩根,并且.直線l:y=mx+n交x軸于點A,交y軸于點B.坐標原點O關于直線l的對稱點O′在反比例函數(shù)
的圖象上,求反比例函數(shù)
的解析式;
(3)在(2)成立的條件下,將直線l繞點A逆時針旋轉角θ(0°<θ<90°),得到直線l′,l′交y軸于點P,過點P作x軸的平行線,與上述反比例函數(shù)的圖象交于點Q,當四邊形APQO′的面積為
時,求θ的值.
【考點】根的判別式;根與系數(shù)的關系;坐標與圖形性質(zhì);反比例函數(shù)的圖象;旋轉的性質(zhì).
【專題】綜合題.
【分析】(1)由方程(a﹣1)x2+(2﹣3a)x+3=0為一元二次方程,所以a≠0;要證明方程總有兩個實數(shù)根,即證明當a取不等于1的實數(shù)時,△>0,而△=(2﹣3a)2﹣4×(a﹣1)×3=(3a﹣4)2,即可得到△≥0.
(2)先利用求根公式求出兩根3,,再代入
,可得到a=2,則m=1,n=3,直線l:y=x+3,這樣就可得到坐標原點O關于直線l的對稱點,代入反比例函數(shù)
,即可確定反比例函數(shù)
的解析式;
(3)延長PQ,AO′交于點G,設P(0,p),則Q(﹣,p).四邊形APQO'的面積=S△APG﹣S△QGO′=
,這樣可求出p;可得到OP,PA,可求出∠PAO=60°,這樣就可求出θ.
【解答】(1)證明:∵方程(a﹣1)x2+(2﹣3a)x+3=0是一元二次方程,
∴a﹣1≠0,即a≠1.
∴△=(2﹣3a)2﹣4×(a﹣1)×3=(3a﹣4)2,而(3a﹣4)2≥0,
∴△≥0.
所以當a取不等于1的實數(shù)時,此方程總有兩個實數(shù)根;
(2)解:∵m,n(m<n)是此方程的兩根,
∴m+n=﹣,mn=
.
∵,
=
,
∴﹣=
,
∴a=2,即可求得m=1,n=3.
∴y=x+3,則A(﹣3,0),B(0,3),
∴△ABO為等腰直角三角形,
∴坐標原點O關于直線l的對稱點O′的坐標為(﹣3,3),把(﹣3,3)代入反比例函數(shù),得k=﹣9,
所以反比例函數(shù)的解析式為y=﹣;
(3)解:設點P的坐標為(0,p),延長PQ和AO′交于點G.
∵PQ∥x軸,與反比例函數(shù)圖象交于點Q,
∴四邊形AOPG為矩形.
∴Q的坐標為(﹣,p),
∴G(﹣3,P),
當0°<θ<45°,即p>3時,
∵GP=3,GQ=3﹣,GO′=p﹣3,GA=p,
∴S四邊形APQO′=S△APG﹣S△QGO′=×p×3﹣
×(3﹣
)×(p﹣3)=9﹣
,
∴=9﹣
,
∴p=.(合題意)
∴P(0,).則AP=6,OA=3,
所以∠PAO=60°,∠θ=60°﹣45°=15°;
當θ=45°時,直線l于y軸沒有交點;
當45°<θ<90°,則p<﹣3,
用同樣的方法也可求得p=,這與p<﹣3相矛盾,舍去.
所以旋轉角度θ為15°.
【點評】題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式△=b2﹣4ac.當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.同時考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和一些幾何圖形的性質(zhì).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
一家商店進行裝修,若請甲、乙兩個裝修組同時施工,8天可以完成,需付給兩組費用共3520元;若先請甲組單獨做6天,再請乙組單獨做12天可以完成,需付給兩組費用共3480元,問:
(1)甲、乙兩組單獨工作一天,商店應各付多少元?
(2)已知甲組單獨完成需要12天,乙組單獨完成需要24天,單獨請哪組,商店此付費用較少?
(3)若裝修完后,商店每天可盈利200元,你認為如何安排施工有利用商店經(jīng)營?說說你的理由。(可以直接用(1)(2)中的已知條件)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
已知與-9x7-my1+n的和是單項式,則m,n的值分別是( ).
A、m=-1,n=-7 B、m=3,n=1
C、m=,n=
D、m=
,n=-2
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
數(shù)據(jù)a,4,2,5,3的平均數(shù)為b,且a和b是方程x2﹣4x+3=0的兩個根,則這組數(shù)據(jù)的標準差是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
已知(8a﹣7b)﹣(4a+□)=4a﹣2b+3ab,則方框內(nèi)的式子為( )
A.5b+3ab B.﹣5b+3ab C.5b﹣3ab D.﹣5b﹣3ab
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