已知關于x的一元二次方程(a﹣1)x2+(2﹣3a)x+3=0.

(1)求證:當a取不等于1的實數(shù)時,此方程總有兩個實數(shù)根;

(2)若m,n(m<n)是此方程的兩根,并且.直線l:y=mx+n交x軸于點A,交y軸于點B.坐標原點O關于直線l的對稱點O′在反比例函數(shù)的圖象上,求反比例函數(shù)的解析式;

(3)在(2)成立的條件下,將直線l繞點A逆時針旋轉角θ(0°<θ<90°),得到直線l′,l′交y軸于點P,過點P作x軸的平行線,與上述反比例函數(shù)的圖象交于點Q,當四邊形APQO′的面積為時,求θ的值.


 

【考點】根的判別式;根與系數(shù)的關系;坐標與圖形性質(zhì);反比例函數(shù)的圖象;旋轉的性質(zhì).

【專題】綜合題.

【分析】(1)由方程(a﹣1)x2+(2﹣3a)x+3=0為一元二次方程,所以a≠0;要證明方程總有兩個實數(shù)根,即證明當a取不等于1的實數(shù)時,△>0,而△=(2﹣3a)2﹣4×(a﹣1)×3=(3a﹣4)2,即可得到△≥0.

(2)先利用求根公式求出兩根3,,再代入,可得到a=2,則m=1,n=3,直線l:y=x+3,這樣就可得到坐標原點O關于直線l的對稱點,代入反比例函數(shù),即可確定反比例函數(shù)的解析式;

(3)延長PQ,AO′交于點G,設P(0,p),則Q(﹣,p).四邊形APQO'的面積=SAPG﹣SQGO=,這樣可求出p;可得到OP,PA,可求出∠PAO=60°,這樣就可求出θ.

【解答】(1)證明:∵方程(a﹣1)x2+(2﹣3a)x+3=0是一元二次方程,

∴a﹣1≠0,即a≠1.

∴△=(2﹣3a)2﹣4×(a﹣1)×3=(3a﹣4)2,而(3a﹣4)2≥0,

∴△≥0.

所以當a取不等于1的實數(shù)時,此方程總有兩個實數(shù)根;

(2)解:∵m,n(m<n)是此方程的兩根,

∴m+n=﹣,mn=

, =

∴﹣=,

∴a=2,即可求得m=1,n=3.

∴y=x+3,則A(﹣3,0),B(0,3),

∴△ABO為等腰直角三角形,

∴坐標原點O關于直線l的對稱點O′的坐標為(﹣3,3),把(﹣3,3)代入反比例函數(shù),得k=﹣9,

所以反比例函數(shù)的解析式為y=﹣;

 

(3)解:設點P的坐標為(0,p),延長PQ和AO′交于點G.

∵PQ∥x軸,與反比例函數(shù)圖象交于點Q,

∴四邊形AOPG為矩形.

∴Q的坐標為(﹣,p),

∴G(﹣3,P),

當0°<θ<45°,即p>3時,

∵GP=3,GQ=3﹣,GO′=p﹣3,GA=p,

∴S四邊形APQO=SAPG﹣SQGO=×p×3﹣×(3﹣)×(p﹣3)=9﹣,

=9﹣

∴p=.(合題意)

∴P(0,).則AP=6,OA=3,

所以∠PAO=60°,∠θ=60°﹣45°=15°;

當θ=45°時,直線l于y軸沒有交點;

當45°<θ<90°,則p<﹣3,

用同樣的方法也可求得p=,這與p<﹣3相矛盾,舍去.

所以旋轉角度θ為15°.

【點評】題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式△=b2﹣4ac.當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.同時考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和一些幾何圖形的性質(zhì).


練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:


如圖,直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,把△A0B繞點A順時針旋轉90°后得到△AOB′,則點B′的坐標是  

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:


方程 的解是 ,則ab為(    )

A、         B、           C、          D、

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:


二元一次方程3x+2y=11(  ).

A.任何一對有理數(shù)都是它的解         B.只有一個解

C.只有兩個解                           D.有無數(shù)個解

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:


一家商店進行裝修,若請甲、乙兩個裝修組同時施工,8天可以完成,需付給兩組費用共3520元;若先請甲組單獨做6天,再請乙組單獨做12天可以完成,需付給兩組費用共3480元,問:

(1)甲、乙兩組單獨工作一天,商店應各付多少元?

(2)已知甲組單獨完成需要12天,乙組單獨完成需要24天,單獨請哪組,商店此付費用較少?

(3)若裝修完后,商店每天可盈利200元,你認為如何安排施工有利用商店經(jīng)營?說說你的理由。(可以直接用(1)(2)中的已知條件)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:


已知與-9x7-my1+n的和是單項式,則m,n的值分別是(       ).

A、m=-1,n=-7    B、m=3,n=1  

 C、m=,n=     D、m=,n=-2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:


查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:


數(shù)據(jù)a,4,2,5,3的平均數(shù)為b,且a和b是方程x2﹣4x+3=0的兩個根,則這組數(shù)據(jù)的標準差是      

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:


已知(8a﹣7b)﹣(4a+□)=4a﹣2b+3ab,則方框內(nèi)的式子為(     )

A.5b+3ab     B.﹣5b+3ab  C.5b﹣3ab   D.﹣5b﹣3ab

查看答案和解析>>

同步練習冊答案