Question

如圖，在△ABC與△AEF中，∠AFE=90°，AB=，BC=5，AC=，AE=AC，延長(zhǎng)FA交BC于點(diǎn)D．若∠ADC=∠CAE，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：作AH⊥BC于H點(diǎn)，由∠ADC=∠CAE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠FAE=∠C，則可根據(jù)“AAS”判斷△AEF≌△CAH，所以EF=AH，設(shè)HC=x，則BH=BC-CH=5-x，再根據(jù)勾股定理得到AH²+x²=（）²，AH²+（x-5）²=（2）²，然后解方程組求出AH，即可得到EF的長(zhǎng)．
解答：作AH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，
∵∠ADC=∠CAE，∠FAC=∠ADC+∠C，
∴∠FAE=∠C，
在△AEF和△CAH中，
，
∴△AEF≌△CAH（AAS），
∴EF=AH，
設(shè)HC=x，則BH=BC-CH=5-x，
在Rt△AHC中，
∵AH²+HC²=AC²，
∴AH²+x²=（）²①，
在Rt△AHB中，
∵AH²+HB²=AB²，
∴AH²+（x-5）²=（2）²②，
①-②得-25+10x=-5，解得x=3，
把x=2代入①得AH²+2²=（）²，解得AH=，
∴EF=．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了勾股定理．