Question

如圖已知△ABC是等邊三角形，BD是高，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，過(guò)D作DF⊥BE于F，
求證：（1）BD=DE
（2）F為線段BE的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD平分∠ABC，求出∠CBD=30°，再根據(jù)CE=CD，利用等邊對(duì)等角以及三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出
∠E=30°，然后根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明；
（2）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=

1

2

∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
又∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴BD=DE；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BE，
∴BF=EF（等腰三角形三線合一），
即F為線段BE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形三個(gè)角都是60°的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．