Question

10．已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC．
（1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC，DF，CF，判斷△CDF的形狀并證明；
（2）如圖2，E是直線BC上的一點，直線AE，CD相交于點P，且∠APD=45°，求證：BD=CE．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證明△AFD和△BDC全等即可，利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，即可判斷三角形的形狀；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，就有DF=DC，∠ADF=∠BCD，就可以得出△DCF為等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，就有CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四邊形AFCE是平行四邊形，就有AF=CE．

解答 解：（1）∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD與△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠FAD=∠DBC}\\{AF=BD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS）；
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形．
（2）如圖2，作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，

∴∠FAD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC=90°．
在△FAD和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BD}\\{∠FAD=∠DBC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADF+∠BDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠FCD=45°．
∵∠APD=45°，
∴∠FCD=∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD=90°，∠ABC=90，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=CE，
∴CE=BD．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用．解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．