【題目】在矩形 ABCD 中,AB3,BC4E、F 是對(duì)角線 AC 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),分 別從 A、C 同時(shí)出發(fā)相向而行,速度均為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒,其中 0 t 5

1)若 GH 分別是 AB,DC 中點(diǎn),求證:四邊形 EGFH 是平行四邊形(E、F 相遇時(shí)除外);

2)在(1)條件下,若四邊形 EGFH 為矩形,求 t 的值;

3)若 G,H 分別是折線 ABCCDA 上的動(dòng)點(diǎn),與 E,F 相同的速度同時(shí)出發(fā),若 四邊形 EGFH 為菱形,求 t 的值.

【答案】1)見(jiàn)解析;(20.54.5;(3

【解析】

1)根據(jù)勾股定理求出AC,證明△AFG≌△CEH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GF=HE,同理得到GE=HF,根據(jù)平行四邊形的判定定理證明;

2)分AE=CF、AE=CF兩種情況,根據(jù)矩形的性質(zhì)計(jì)算即可;

3)連接AG、CH,判定四邊形AGCH是菱形,得到AG=CG,根據(jù)勾股定理求出BG,得到AB+BG的長(zhǎng),根據(jù)題意解答.

1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

AB=CD,ABCD,ADBC,∠B=90°,

AC=,∠GAF=HCE,

G,H分別是AB,DC中點(diǎn),

AG=BG,CH=DH

AG=CH,

AE=CF,

AF=CE,

在△AFG和△CEH中,

,

∴△AFG≌△CEHSAS),

GF=HE,

同理:GE=HF,

∴四邊形EGFH是平行四邊形;

2)解:由(1)得:BG=CHBGCH,

∴四邊形BCHG是平行四邊形,

GH=BC=4,當(dāng)EF=GH=4時(shí),平行四邊形EGFH是矩形,

分兩種情況:①AE=CF=tEF=5-2t=4,

解得:t=0.5;

AE=CF=t,EF=5-25-t=4

解得:t=4.5;

綜上所述:當(dāng)t0.5s4.5s時(shí),四邊形EGFH為矩形;

3)解:連接AG、CH,如圖所示:

∵四邊形EGFH為菱形,

GHEF,OG=OH,OE=OF

OA=OC,AG=AH

∴四邊形AGCH是菱形,

AG=CG,

設(shè)AG=CG=x,則BG=4-x

由勾股定理得:AB2+BG2=AG2,

32+4-x2=x2

解得,x=,

BG==

AB+BG=3+=,

t時(shí),四邊形EGFH為菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1

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2

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