Question

3．已知線段AB為⊙O的直徑，線段AC為⊙O的弦，∠CAB的角平分線交⊙O于點D，過D作DE⊥AC，交AC的延長線于E．
（1）求證：DE為⊙O的切線．
（2）連接OE交AD于F，若AE=8，$\frac{AF}{AD}$=$\frac{8}{13}$，求線段AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，BC，根據(jù)∠CAB的平分線交⊙O于點D，則$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，依據(jù)垂徑定理可以得到：OD⊥BC，然后根據(jù)直徑的定義，可以得到OD∥AE，從而證得，DE⊥OD，則DE是圓的切線；
（2）連接BD，由OD∥AE，證得△AEF∽△DOF，由相似三角形的性質(zhì)可得OD，再利用相似三角形的判定定理證得△ADE∽△ABD，利用相似三角形的性質(zhì)可得AD．

解答 （1）證明：連接OD，BC，如圖1，
∵∠CAB的平分線交⊙O于點D，
∴∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴ED是⊙O的切線；

（2）解：連接BD，如圖2，
∵$\frac{AF}{AD}$=$\frac{8}{13}$，
∴$\frac{AF}{FD}=\frac{8}{5}$，
∵OD∥AE，
∴△AEF∽△DOF，
∴$\frac{AE}{OD}=\frac{AF}{DF}$，
即$\frac{8}{OD}=\frac{8}{5}$，
∴OD=5，
∴AB=10，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，∴∠AED=∠ADB，
∵∠CAD=∠DAB，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{AD}{10}=\frac{8}{AD}$，
∴AD=4$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了切線的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，注意構(gòu)建直角三角形，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．