Question

已知直線與x軸交于點A（-4，0），與y軸交于點B．
（1）求b的值；
（2）把△AOB繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A落在y軸的A′處，點B若在x軸的B′處．
①求直線A′B′的函數(shù)關系式；
②設直線AB與直線A′B′交于點C，矩形PQMN是△AB′C的內(nèi)接矩形，其中點P，Q在線段AB′上，點M在線段B′C上，點N在線段AC上．若矩形PQMN的兩條鄰邊的比為1：2，試求矩形PQMN的周長．

Answer 1

解：（1）由題意得
把A（-4，0）代入，
得；

（2）①由（1）得：，
令x=0，得y=2，
∴B（0，2）
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知OA'=OA=4，OB'=OB=2
∴A'（0，4），B'（2，0）
設直線A'B'的解析式為y=ax+b，
把A'、B'分別代入得：，解得
∴直線A'B'的解析式為y=-2x+4；
②∵點N在AC上
∴可設N（x，）（-4＜x＜0）
∵四邊形PQMN為矩形
∴NP=MQ=
（�。┊擯N：PQ=1：2時
PQ=2PN=
∴Q（x+4+x，0）
∴M（2x+4，）
∵點M在B'C上
∴
解得
此時，PQ=
∴矩形PQMN的周長為
（ⅱ）當PN：PQ=2：1時
PQ=PN=
∴Q（，0）
M（，）
∵點M在B'C上
∴
解得x=0
此時PN=2，PQ=1
∴矩形PQMN的周長為2（2+1）=6．
綜上所述，當PN：PQ=1：2時，矩形PQMN的周長為8．
當PQ：PN=1：2時，矩形PQMN的周長為6．
分析：（1）點A在直線上，直接代入即可得b；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)后A′B′坐標，即可得解析式；
②根據(jù)幾何圖形，確定P、Q、M、N四點的關系即可確定周長．
點評：本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)及其坐標特征，并綜合幾何旋轉(zhuǎn)性質(zhì)應用，是個綜合性比較高的題，要求要熟練掌握函數(shù)圖象性質(zhì)．