Question

（1）如圖，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD長．
（2）已知△ABC中，AB=13，AC=15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的長．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：

分析：（1）由題意知，BD+DC=14，設BD=x，則CD=14-x，在直角△ABD中，AB是斜邊，根據勾股定理AB²=AD²+BD²，在直角△ACD中，根據勾股定理AC²=AD²+CD²，列出方程組即可計算x的值，即可求得AD的長度．
（2）分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據勾股定理求得BD，CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC=BD+CD，在鈍角三角形中，BC=CD-BD，問題得解．

解答：解：（1）BC=14，且BC=BD+DC，
設BD=x，則DC=14-x，
則在直角△ABD中，AB²=AD²+BD²，
即13²=AD²+x²，
在直角△ACD中，AC²=AD²+CD²，
即15²=AD²+（14-x）²，
整理計算得x=5，
即AD=12．
（2）①如圖，銳角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD²=AB²-AD²=13²-12²=25，
即BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，
即CD=9，
所以BC的長為BD+DC=9+5=14，
②鈍角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD²=AB²-AD²=13²-12²=25，
即BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，
所以CD=9，
所以BC=DC-BD=9-5=4．

點評：（1）本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運用，考查了學生的方程思想，本題中設BD=x，并且在直角△ABD和直角△ACD中根據勾股定理計算BD是解題的關鍵．
（2）本題考查了勾股定理，把三角形斜邊轉化到直角三角形中用勾股定理解答．